Instantaneous Frequency

在1998年EMD提出的时候，信号的瞬时能量或瞬时包络的概念已被广泛接受。另一方面，瞬时频率的概念一直备受争议。

接受瞬时频率的概念有两个基本困难，如下所示。第一个源于傅里叶谱分析根深蒂固的影响。在传统的傅里叶分析中，频率被定义为跨越整个数据长度且幅度恒定的正弦或余弦函数。作为该定义的扩展，瞬时频率还必须与正弦或余弦函数相关。因此，我们需要至少一次正弦波或余弦波的完整振荡来定义本地频率值。根据这个逻辑，没有比全波更短的了。对于频率必须不时改变值的非平稳数据，这样的定义没有意义。第二个困难源于定义瞬时频率的非唯一方法。

当时使用HilBert Transform来定义瞬时频率的方法，当时仍然被Cohen (1995)等人认为存在矛盾；

这里就不对瞬时频率做过多的展开讨论，直接给出定义：

$$Y(t)=\frac{1}{\pi }\text{p.v.}{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{X(t^{\prime })}{t-t^{\prime }}d{t}^{\prime }orY(t)=X(t)\text{conv}\frac{1}{t}$$ $$Z(t)=X(t)+iY(t)=\alpha (t)e^{i\theta (t)}$$ $$\alpha (t)=[X^2(t)+Y^2(t){]}^{\frac{1}{2}},\theta (t)=\arctan (\frac{Y(t)}{X(t)})$$

这里$\theta (t)$即为瞬时角度，瞬时频率则为，

$$\omega =\frac{d\theta (t)}{dt}$$

Reference