复利下注下的凯利公式：如何推导最优下注尺度

凯利公式要解决什么问题？

假设手上有一笔本金，并且反复遇到同一种「有优势的赌局」：

• 赢的概率是 $p$，输的概率是 $q=1-p$；
• 每下注 1 元，赢时净赚 $b$ 元，输时损失这 1 元；
• 每一局都拿当前财富的一定比例 $f$ 去下注。

已知赌局有正期望以后，下一个问题不是「要不要下注」，而是：

每次应该拿当前本金的多大比例下注，才能让财富在长期复利中增长得最快？

这就是凯利公式（Kelly criterion）要解决的 position sizing 问题。Kelly 在 1956 年提出的原始形式，研究的正是资本的长期指数增长率。1

它不负责判断 $p$ 是否估计正确，也不负责替我寻找有优势的赌局。它回答的是：在概率和赔率已知，而且同类机会可以重复出现时，如何把已有优势转换成最优下注尺度。

Binary Kelly formula

若赔率是「下注 1 元，赢时净赚 $b$ 元」，最优下注比例为

$$f^{\ast }=\frac{bp-q}{b}=p-\frac{q}{b}$$

如果 $bp\le q$，说明没有正优势；在不允许反向下注时，最优选择是 $f^{\ast }=0$。

为什么「最大化期望收益」会给出错误的下注尺度？

单局下注后，财富 $W$ 变成：

$$W^{\prime }=\{\begin{array}{ll}W(1+bf),& \text{win}(p)\\ W(1-f),& \text{lose}(q)\end{array}$$

于是下一局财富的期望是：

$$E[W^{\prime }]=W\left[p(1+bf)+q(1-f)\right]$$

整理得：

$$E[W^{\prime }]=W\left[1+f(bp-q)\right]$$

只要这场赌局有正期望，也就是 $bp-q>0$，上式就会随着 $f$ 单调增加。若目标只是让下一局的 expected wealth 最大，答案永远是 $f=1$：全押。

问题在于，财富不是把每局利润相加，而是把每局的增长因子相乘。只要 $q>0$，全押在重复游戏中迟早会遇到一次失败，财富随后归零。期望财富又很容易被少数极端幸运、财富极高的路径拉大，因此它并不能代表一条典型的长期财富路径。

复利还存在一个重要的不对称：上涨 $50\%$ 后再下跌 $50\%$，结果不是回到原点，而是

$$1\times 1.5\times 0.5=0.75$$

所以凯利公式真正优化的不是单局 arithmetic mean，而是长期的 geometric growth。

从复利财富推导长期增长率

连续下注 $n$ 局，其中赢了 $k$ 局、输了 $n-k$ 局。因为每局都按照当时的财富下注，最终财富为：

$$W_n=W_0(1+bf{)}^k(1-f{)}^{n-k}$$

两边取对数：

$$\ln \frac{W_n}{W_0}=k\ln (1+bf)+(n-k)\ln (1-f)$$

再除以局数 $n$：

$$\frac{1}{n}\ln \frac{W_n}{W_0}=\frac{k}{n}\ln (1+bf)+\left(1-\frac{k}{n}\right)\ln (1-f)$$

当赌局独立同分布，而且局数足够多时，大数定律给出：

$$\frac{k}{n}\to p$$

因此每局的长期对数增长率趋近于：

$$g(f)=p\ln (1+bf)+q\ln (1-f)$$

最大化 $g(f)$，等价于最大化长期财富的几何平均增长因子 $e^{g(f)}$。对数不是随意选择的 utility function；它首先来自复利财富中「乘法取对数后变加法」这个结构。

推导最优下注比例

对 $g(f)$ 求导：

$$g^{\prime }(f)=\frac{pb}{1+bf}-\frac{q}{1-f}$$

令一阶导数为 0：

$$\frac{pb}{1+bf}=\frac{q}{1-f}$$

交叉相乘：

$$pb(1-f)=q(1+bf)$$ $$pb-pbf=q+qbf$$

因为 $p+q=1$：

$$pb-q=bf(p+q)=bf$$

最终得到：

$$\boxed{f^{\ast }=\frac{bp-q}{b}}$$

二阶导数为：

$$g^{\prime \prime }(f)=-\frac{p{b}^2}{(1+bf{)}^2}-\frac{q}{(1-f{)}^2}<0$$

所以 $g(f)$ 是严格凹函数，驻点不是局部巧合，而是唯一的全局最大值。

这个结果也可以记成：

$$\text{Kelly fraction}=\frac{\text{expected net profit per unit bet}}{\text{net payout}}$$

因为每下注 1 元的 expected net profit 是 $pb-q$，净赔率是 $b$。

若使用 decimal odds $O=b+1$，公式可写成：

$$f^{\ast }=\frac{pO-1}{O-1}$$

在 even-money bet 中，$b=1$，所以：

$$f^{\ast }=p-q=2p-1$$

Example：胜率 60% 的等额赔率

设 $p=0.6$、$q=0.4$、$b=1$。每下注 1 元，赢了净赚 1 元，输了损失 1 元。

$$f^{\ast }=\frac{1\times 0.6-0.4}{1}=0.2$$

所以 full Kelly 是每局下注当前财富的 $20\%$。

下注比例 $f$	单局期望财富倍数	长期 log growth $g(f)$	几何增长因子 $e^{g(f)}$
$0$	$1.00$	$0$	$1.000$
$0.10$	$1.02$	$0.0150$	$1.015$
$0.20$	$1.04$	$0.0201$	$1.020$
$0.50$	$1.10$	$-0.0340$	$0.967$
$1.00$	$1.20$	$-\infty$	$0$

这里最反直觉的是 $f=0.5$：每局的期望财富倍数明明是 $1.10$，但长期对数增长率却为负。原因是过大的下注把亏损侧的复利伤害放大了。

因此凯利公式不仅说「不要下注太少」，也在说：

正期望不等于任何下注尺度都能带来长期增长；overbetting 可以把一个好赌局变成一条典型财富不断缩水的路径。

更一般的写法

若每投入 1 单位风险资金，随机净收益率记为 $R$，则财富更新为：

$$W_{t+1}=W_t(1+f{R}_t)$$

一般化的凯利问题是：

$$\underset{f}{\max }E[\ln (1+fR)]$$

其一阶条件为：

$$E\left[\frac{R}{1+fR}\right]=0$$

同时必须满足所有可能结果下 $1+fR>0$，否则存在财富归零或变成负数的结果，对数增长率将失去意义。二元赌局只是这个优化问题恰好能得到闭式解的特例；多资产情况下则把 $fR$ 换成权重向量与收益向量的内积。

「最优」到底是什么意思？

凯利最优指的是：在概率、赔率稳定且可以长期重复的模型里，最大化 asymptotic log growth rate。12

它不是：

• 最大化下一局的期望财富；
• 最大化有限局数后的胜率；
• 最小化回撤或波动；
• 保证任何一条有限路径都赚钱；
• 在概率估计错误时仍然最优。

Full Kelly 的波动和回撤仍然可能很大。现实中 $p$ 和 payoff 往往只是估计值，还存在相关性、交易成本、赔率变化、机会数量有限以及人的风险承受约束。下注过大对增长率的伤害通常比下注不足更危险，所以实践中常使用 half Kelly 或其他 fractional Kelly，在牺牲一部分理论增长速度的同时，为模型误差和回撤留出余量。2

Assumptions & boundary

这套推导依赖几个关键假设：

1. 每一局的概率 $p$ 与赔率 $b$ 已知且稳定；
2. 各局结果独立，或者至少长期频率能收敛到所用模型；
3. 相同或同类机会可以反复出现；
4. 每次能够连续调整下注金额为当前财富的比例；
5. 目标确实是长期资本增长，而不是短期支付、最低财富保障或有限期效用；
6. 没有遗漏交易成本、相关风险、下注上限和流动性约束。

所以公式本身并不难，真正困难的通常是输入：胜率有多可信？坏结果有多坏？不同下注是否相关？一旦低估 tail risk，算得再精确的 full Kelly 也只是对错误模型的精确最优解。

Takeaway

凯利公式的逻辑链条可以压缩成四步：

1. 重复下注时，财富按乘法复利；
2. 乘法过程用 log 后变成可相加的增长率；
3. 长期胜负频率趋近概率，于是增长率为 $E[\ln (W_{t+1}/W_t)]$；
4. 对下注比例求极值，得到 $f^{\ast }=(bp-q)/b$。

凯利公式最重要的洞见并不只是一个分数，而是目标函数的改变：

不要问「这一把平均能赚多少」，而要问「这个下注尺度反复复利以后，一条典型财富路径会以多快的速度增长」。

Reference

[1] J. L. Kelly Jr., “A New Interpretation of Information Rate,” The Bell System Technical Journal, 1956.

[2] Edward O. Thorp, “The Kelly Criterion in Blackjack, Sports Betting, and the Stock Market,” 1997.