Random Signal Basic

What is Random Signals

• 随机信号(Random Signals)在任何时间的取值都是不能先验确定的随机变量

• 虽然随机信号的取值不能先验确定，但这些取值却服从某种统计规律，换言之，随机信号或过程可以用概率分布特性统计地描述

• 随机变量 $X=x(t)$，离散状态为随机序列 $x(n)$,$x_k(n)$是随机序列$x(n)$的一个样本序列

统计量

$${\mu }_x(n)=E\{x(n)\}=\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{N}\sum _{k=1}^N{x}_k(n)$$ $$E\{x^2(n)\}=\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{N}\sum _{k=1}^N{x}_k^2(n)$$ $${\sigma }_x^2(n)=E\{[x(n)-{\mu }_x(n){]}^2\}=\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{N}\sum _{k=1}^N[x_k(n)-{\mu }_x(n){]}^2$$ $${\sigma }_x^2(n)=E\{x^2(n)\}-{\mu }_x^2(n)$$ $$R_x(n_1,n_2)=E\{x(n_1)x(n_2)\}=\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{N}\sum _{k=1}^N{x}_k(n_1)x_k(n_2)$$

Wide Sense Stationary Process 宽平稳过程

平稳随机信号——其统计特性与时间无关。

1. ${\mu }_x(n)={\mu }_x$ - 均值与n无关，即于哪次观察信号无关

2. $R_x(n,n+m)=R_x(m)$ - 自相关函数与时间n无关，之与时移m有关

Tip

💡 在实际工作中，我们往往把所研究的随机信号视为平稳的，这可使问题大大简化。实际上，自然界中的绝大部分随机信号在一定条件、一定范围内可以认为是平稳的。

非平稳随机信号——其统计特性与时间有关，使用Wigner-Ville分布分析

Ergodicity 各态历经

对于平稳随机信号，虽然它的统计特性与时间无关，但在计算各特征时采用的是集合平均，就需要$x_k(n)$的无穷多个样本，即$k=1,2,\cdots ,\infty$

这在实际工作中显然是不现实的，实际上我们只能得到若干个样本函数，有些情况下甚至只能得到一个，比如地震波；

那能否用一次试验记录（或一个样本函数）来计算均值、自相关函数等这些统计特征？

如果一平稳随机信号$x(n)$在集合平均意义上的均值和自相关函数与单一样本函数在时间平均意义上的均值和自相关函数相同，则称$x(n)$为各态历经信号(Ergodicity)。

Tip

Watch this video: What Is Ergodicity? - Alex Adamou. www.youtube.com, https://www.youtube.com/watch?v=VCb2AMN87cg. Accessed 19 Sept. 2023.

对于拥有Ergodicity的信号，可以用时间平均代替集合平均，即

$${\mu }_x=E\{x(n)\}=\underset{M\to \infty }{\lim }\frac{1}{2M+1}\sum _{n=-M}^{M}x(n)$$ $$R_x(m)=E\{x(n)x(n+m)\}=\underset{M\to \infty }{\lim }\frac{1}{2M+1}\sum _{n=-M}^{M}x(n)x(n+m)$$