啁啾（Chirp）是指频率随时间而改变（增加或减少）的信号。其名称来源于这种信号听起来类似鸟鸣的啾声。

Chirp常常被用在sonar, radar, laser systems里。其中，为了能够测量长距离又保留时间的分辨率，雷达需要短时间的派冲波但是又要持续的发射信号，啁啾信号可以同时保留连续信号和脉冲的特性，因此被应用在雷达和声纳探测上。

Definition

瞬时频率 (instantaneous angular frequency)

有一信号， $x (t) = A sin (ϕ (t))$ ，其瞬时角频率为

ω (t) = \frac{d ϕ ( t )}{d t}

经适当归一化后得到瞬时频率

f (t) = \frac{1}{2 π} \frac{d ϕ ( t )}{d t}

对前两式再求导，得到瞬时角频率的变化速率为瞬时角啁啾度(instantaneous angular chirpyness)

γ (t) = \frac{d ^{2} ϕ ( t )}{d t ^{2}}

类似有瞬时（普通）啁啾度(instantaneous ordinary chirpyness)

c (t) = \frac{1}{2 π} γ (t) = \frac{1}{2 π} \frac{d ^{2} ϕ ( t )}{d t ^{2}}

啁啾的瞬时频率 $f (t)$ 呈线性变化

$f (t) = f_{0} + c t$

c = \frac{f _{1} - f _{0}}{T}

c是一个常值

Also，

ϕ (t) = ϕ_{0} + 2 π \int_{0}^{t} f (τ) d τ = ϕ_{0} = 2 π (\frac{c}{2} t^{2} + f_{0} t)

相位为t的二次函数，从而可以继续推导出信号在time domain：

x (t) = A cos (ϕ_{0} + 2 π (\frac{c}{2} t^{2} + f_{0} t))

这种Linear Chirp信号也被称为二次相位讯号(quadratic-phase signal)

Exponential chirp，也叫geometric chirp，瞬时频率以指数变化，即 $f (t_{2}) / f (t_{1})$ 会是常数

signal frequency:

f (t) = f_{0} k^{t}

k = (\frac{f ( T )}{f _{0}})^{\frac{1}{T}} = constant

相位:

ϕ (t) = ϕ_{0} + 2 π \int_{0}^{t} f (τ) d τ = ϕ_{0} + 2 π f_{0} (\frac{k ^{t} - 1}{ln ( k )})

time-domain:

x (t) = sin [ϕ_{0} + 2 π f_{0} (\frac{k ^{t} - 1}{ln ( k )})]

双曲线线性调频用于雷达应用，因为它们在被多普勒效应(Doppler Effect)扭曲后显示出最大的匹配滤波器(Matched filter)响应。

signal frequency:

f (t) = \frac{f _{0} f _{1} T}{( f _{0} - f _{1} ) t + f _{1} T}

Phase:

ϕ (t) = ϕ_{0} + 2 π \int_{0}^{t} f (τ) d τ = ϕ_{0} + 2 π \frac{- f _{0} f _{1} T}{f _{1} - f _{0}} ln (1 - \frac{f _{1} - f _{0}}{f _{1} T} t)

time-domain:

x (t) = sin [ϕ_{0} + 2 π \frac{- f _{0} f _{1} T}{f _{1} - f _{0}} ln (1 - \frac{f _{1} - f _{0}}{f _{1} T} t)]