Statement
Bernoulli principle 描述的是一个理想流体在稳定流动时，pressure, velocity, height 之间的关系。
最常见的形式：
也可以写成两点之间的关系：
我最直觉的理解是：沿着同一条 streamline，流体的 mechanical energy 在三种形式之间转换：
- pressure energy
- kinetic energy
- gravitational potential energy
如果高度差不大， 变化可以忽略，就会得到更常见的短句：
speed up → static pressure down
但这个短句只是简化，不是完整定律。
Each Term
Static pressure
这是流体本身的静压。可以理解为流体对周围边界的 ordinary pressure。
单位是 Pa：
Dynamic pressure
这一项和速度有关，叫 dynamic pressure [2]。
速度越大，这项越大，而且是 ，所以速度翻倍，dynamic pressure 会变成四倍。
Hydrostatic term
这一项和高度有关。 越高，gravitational potential energy 越大。
在水塔、水管、河流这种问题里，这一项很重要。对于同一房间里近似水平的空气流动，它常常可以先被忽略。
Energy per Volume
一个容易记住的点：Bernoulli equation 里三项单位都是 pressure，也就是 energy density。
所以这个公式也可以看作：
pressure energy per volume
+ kinetic energy per volume
+ potential energy per volume
= constant这比单纯背“流速越大压力越小”更可靠。
Head Form
工程里也常把 Bernoulli equation 除以 ，写成 head 的形式：
这三项的单位都是长度：
- ：pressure head
- ：velocity head
- ：elevation head
这在管道、水泵、水力系统里很常见。
Why Velocity and Pressure Trade
想象一小段流体沿着管道前进。
如果前后压力不同，压力力会对这段流体做功。流体得到的功可以变成 kinetic energy，于是速度变大。
反过来，如果流体进入一个需要减速的区域，kinetic energy 可以转回 pressure。
所以 Bernoulli equation 不是神秘吸力公式，而是 work-energy principle 在流体里的一个版本。
Continuity Equation
Bernoulli principle 经常和 continuity equation 一起出现。
对 incompressible flow：
如果管道变窄，面积 变小，为了保持体积流量，速度 会变大。
再结合 Bernoulli：
area smaller -> velocity larger -> static pressure lower这就是 Venturi tube 这类装置的基本直觉。
Assumptions
最干净的 Bernoulli equation 需要几个条件：
- steady flow：流动不随时间剧烈变化；
- incompressible flow：密度近似不变；
- inviscid flow：忽略黏性损失；
- along a streamline：通常沿同一条流线使用；
- no pump or turbine between points：中间没有机器额外加能或取能。
这些条件很重要。现实流体有摩擦、有湍流、有边界层、有局部损失，所以真实工程计算常常要在 Bernoulli equation 里加 loss term。
With Loss
更实际一点的形式会写成：
是 head loss，代表摩擦、弯头、阀门、入口出口等造成的能量损失。
如果中间有 pump，也可以加 pump head：
这时候就更接近真实管路计算。
Common Mistakes
Mistake 1: faster air always means lower pressure everywhere
不是 everywhere。Bernoulli 是沿 streamline 的关系，而且要满足前提。
不同流线之间不能随便比较，除非有额外条件支持。
Mistake 2: Bernoulli explains all lift by itself
机翼升力可以用 Bernoulli 解释一部分，但完整图像还需要 circulation, pressure distribution, angle of attack, momentum change 等。
Mistake 3: ignoring viscosity
现实流体的黏性会吃掉机械能。速度越高、路径越复杂，损失可能越明显。
Mistake 4: treating pump or turbine flow as passive Bernoulli flow
pump, turbine 这类机器会主动给流体加能量或取走能量。机器前后不能只用最简单的 Bernoulli constant 来处理。
Small Examples
Horizontal pipe
如果管道高度不变：
某段速度变大，static pressure 会下降。
Tank outlet
从一个大水箱底部小孔流出，如果水箱上方和出口都接大气压，可以得到 Torricelli’s law：
这里水面高度的 potential energy 转成出口速度。
Pitot tube
Pitot tube 用 stagnation pressure 和 static pressure 的差来估计速度：
所以：
这也是 dynamic pressure 的一个实际用途。
What I should remember
不要只背“流速快，压强低”。
更好的版本是：
在理想、稳定、不可压、近似无黏的流动里，沿同一条流线，静压、动压、高度势能三者的总和保持不变。
短句可以帮助直觉，完整公式用来防止直觉乱跑。