Background

Poisson Process

日常生活中，大量的事件是有固定频率的。

$N (t)$ 等于t时间内发生事件的次数，在这个过程中，两个不重叠区间内所发生的事件数目是互相独立的随机变量，那么这个随机过程 $N (t)$ 即是一维泊松过程。

这个过程中，在区 $[t, t + τ]$ 内发生的事件数目的概率分布满足Poisson Distribution,

P [(N (t + τ) - N (t)) = k] = \frac{e ^{- λ τ} ( λ τ ) ^{k}}{k !}, k = 0, 1, \dots

$λ$ 是一个正数，为固定的参数，通常称为抵达率(arrival rate)或强度(intensity)。常常用事件在单位长度 $τ$ 内发生的平均频率表达。

Poisson Distribution可以将t代为0，简化为在接下来单位时间 $τ$ 内有k次时间发生的概率的分布：

$P (N (t) = k) = \frac{e ^{- λ t} ( λ t ) ^{k}}{k !}$

这些事件之间的时间间隔，是属于指数分布。

指数分布的公式可以从泊松分布推断出来。如果下一个事件发生要有间隔时间 t ，就等同于 t 之内没有任何事件发生。

P (X > t) = P (N (t) = 0) = \frac{e ^{- λ t} ( λ t ) ^{0}}{0 !} = e^{- λ t}

so,

P (X \leq t) = 1 - P (X > t) = 1 - e^{- λ t}

那么指数分布的CDF即为 $P (X \leq t)$ ，同时有：

CDF (t) = \int_{- \infty}^{\infty} PDF (t) d t

则，可以推导出：

PDF (t) = (1 - e^{- λ t})^{'} = λ e^{- λ t}