离散系统稳定性判别（因果系统）

时域充要条件

k = - \infty \sum \infty ∣ h (k) ∣ < \infty

绝对可和

$H (z)$ 收敛域包含单位圆 $\leftrightarrow$ $∣ P_{j} ∣ < 1$ 极点都在单位圆内

Tip

Z域的充要条件表明了在时域上，随着时间，时域信号是衰减的，因此绝对可和

ROC = {z : ∣ n = - \infty \sum \infty x [n] z^{- n} ∣ < \infty}

ROC是指Z变换的求和收敛的复平面上的点集。

$x [n] = 0.5^{n} μ [n]$ , 则

Z {x [n]} = n = - \infty \sum \infty x [n] z^{- n} = n = 0 \sum \infty (\frac{0.5}{z})^{n} = \frac{1}{1 - 0.5 z ^{- 1}}

最后一个等式来自无穷几何级数，而等式仅在 $∣0.5 z^{- 1} ∣ < 1$ 时成立，可以以 z 为变量写成 $∣ z ∣ > 0.5$ 。因此，收敛域为 $∣ z ∣ > 0.5$ 。在这种情况下，收敛域为复平面“挖掉”原点为中心的半径为 0.5 的圆盘。